حل السؤال 9، 0606/21 مايو/يونيو 2025: معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
قطاع دائري نصف قطره معلوم وزاويته المنعكسة معطاة بالراديان، يُطوى ليصنع مخروطًا. المطلوب مساحة السطح المنحني للمخروط.
كيف تحلّه؟
عند طي القطاع يصبح القطاع نفسه هو السطح المنحني، فلا شيء يُضاف أو يُحذف. احسب مساحة القطاع: نصف مربع نصف القطر مضروبًا في الزاوية بالراديان. الفخ: استخدام قانون المخروط بنصف قطر القاعدة وهو غير معروف بعد.
- 1Curved surface area = area of the sector
- 2= (1/2) × 15² × 6π/5
- 3= 135π ≈ 424
Answer135π cm² (424.1 to 424.2)
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
بعد طي القطاع إلى مخروط تصبح حافته العليا دائرة أفقية تتلامس عندها حافتا القطاع. المطلوب محيط هذه الدائرة العليا.
كيف تحلّه؟
محيط الفتحة العليا هو نفسه طول قوس القطاع قبل الطي. احسب طول القوس: نصف القطر مضروبًا في الزاوية بالراديان. الفخ: حساب محيط دائرة القطاع الكاملة بدل القوس.
- 1Circumference of the top = arc length AB
- 2= 15 × 6π/5 = 18π ≈ 56.5
Answer18π cm (56.5 to 56.6)
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم المحيط الذي وجدته لتجد نصف قطر الدائرة العليا، ثم الارتفاع العمودي للمخروط.
كيف تحلّه؟
ساوِ المحيط بضعف باي في نصف القطر لتجده. الراسم (الحافة المائلة) هو نصف قطر القطاع، فارسم المثلث القائم: الراسم وتر، ونصف قطر الفتحة ضلع، والارتفاع الضلع الآخر، واستخدم فيثاغورس. الفخ: جعل نصف قطر القطاع هو الارتفاع.
- 12πR = 18π, so R = 9
- 2Slant height = 15, so height² = 15² − 9² = 144
- 3Height = 12
Answerradius = 9, height = 12
الجزء (di) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
يُصب الماء في المخروط. عندما يكون عمق الماء مقدارًا ما، يكون نصف قطر سطح الماء مقدارًا آخر. المطلوب كتابة نصف القطر بدلالة العمق.
كيف تحلّه؟
مخروط الماء يشابه المخروط الكامل، فالنسبة بين نصف القطر والارتفاع ثابتة. استخدم نصف القطر والارتفاع اللذين وجدتهما في الجزء السابق لتكتب هذه النسبة. الفخ: قلب النسبة فتكتب الارتفاع على نصف القطر.
- 1Similar triangles: r/h = 9/12
- 2r = (3/4)h
Answerr = (3/4)h
الجزء (dii) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
يُصب الماء بمعدل ثابت معطى من السنتيمترات المكعبة في الثانية. المطلوب معدل ارتفاع عمق الماء في اللحظة التي يكون فيها العمق مساويًا للقيمة المعطاة.
كيف تحلّه؟
اكتب حجم الماء بقانون المخروط، ثلث باي في مربع نصف القطر في الارتفاع، وعوّض نصف القطر بدلالة العمق ليصبح الحجم بدلالة العمق وحده. اشتق الحجم بالنسبة للعمق، ثم استخدم قاعدة السلسلة: معدل العمق يساوي معدل الحجم مقسومًا على مشتقة الحجم بالنسبة للعمق، وعوّض بالعمق المعطى. الفخ: الاشتقاق قبل التعويض عن نصف القطر.
- 1V = (1/3)π((3/4)h)² × h = (3π/16)h³
- 2dV/dh = (9π/16)h²
- 3dh/dt = dV/dt ÷ dV/dh
- 4At h = 4: dV/dh = 9π
- 5dh/dt = 27/(9π) = 3/π ≈ 0.955
Answer0.955 cm/s
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة بالعربي
تدرّب على أسئلة معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara