حل السؤال 7، 0606/21 مايو/يونيو 2025: الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة الأولى: ضعف العدد النيبيري مرفوعًا إلى سالب السين، زائد ثلاثة. المطلوب رسم منحناها، «ومن ثمّ» رسم منحنى دالتها العكسية على المحاور نفسها، مع إظهار نقاط التقاطع مع المحورين والخطوط المقاربة.
كيف تحلّه؟
عوّض السين صفرًا لتجد نقطة القطع مع محور الصاد. عندما تكبر السين يقترب الجزء الأسّي من الصفر، فيظهر خط مقارب أفقي. الدالة متناقصة. ثم ارسم الدالة العكسية بانعكاس المنحنى في المستقيم الصاد تساوي السين: نقطة القطع تنتقل إلى محور السين، والخط المقارب الأفقي يصير رأسيًا. الفخ: رسم الدالة العكسية تقطع محورًا لا يجوز أن تقطعه.
- 1f(0) = 2 + 3 = 5, so y-intercept (0, 5)
- 2As x → ∞, e^(−x) → 0, so asymptote y = 3; f is decreasing
- 3Reflect in y = x: f⁻¹ crosses the x-axis at (5, 0)
- 4f⁻¹ has vertical asymptote x = 3 and exists for x > 3
Answery = f(x): decreasing exponential curve crossing the y-axis at (0, 5) and tending to the asymptote y = 3 as x → ∞. y = f⁻¹(x): its reflection in y = x, crossing the x-axis at (5, 0) with vertical asymptote x = 3
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة الثانية: اثنان ناقص ثلاثة مقسومة على العدد النيبيري أس السين زائد اثنين، والسين غير سالبة. المطلوب صيغة دالتها العكسية، وذكر مجال هذه الدالة العكسية.
كيف تحلّه؟
اكتب الصاد تساوي القاعدة، واعزل الكسر، ثم اقلب الطرفين لتعزل العدد النيبيري أس السين، ثم خذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين وبدّل الرمزين. مجال الدالة العكسية هو مدى الدالة الأصلية: احسب قيمتها عند الصفر، وانظر إلى أي قيمة تقترب عندما تكبر السين. الفخ: كتابة المجال بدل المدى، أو الخلط بين الحد المشمول وغير المشمول.
- 1y = 2 − 3/(eˣ + 2), so 3/(eˣ + 2) = 2 − y
- 2eˣ + 2 = 3/(2 − y), so eˣ = 3/(2 − y) − 2
- 3g⁻¹(x) = ln(3/(2 − x) − 2)
- 4g(0) = 2 − 1 = 1 and g(x) → 2 as x → ∞, so the range of g is 1 ≤ g(x) < 2
- 5Domain of g⁻¹: 1 ≤ x < 2
Answerg⁻¹(x) = ln(3/(2 − x) − 2), domain 1 ≤ x < 2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara