حل السؤال 4، 0606/11 أكتوبر/نوفمبر 2025: الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 11 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: دائرة مرسومة على المحورين. المطلوب «اشرح» لماذا هذا المنحنى لا يمثل دالة.
كيف تحلّه؟
الدالة تعطي لكل مدخل مخرجًا واحدًا فقط. ارسم في ذهنك خطًا رأسيًا يقطع الدائرة، ستجده يقطعها مرتين، أي أن للمدخل الواحد مخرجين. اكتب هذا السبب بجملة.
- 1A function gives exactly one output for each input
- 2A vertical line through the circle meets it twice, so one x has two y values
AnswerIt is a many-many mapping: a vertical line meets the graph more than once
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
جدول فيه أربعة منحنيات لدوال، وثلاثة أعمدة: واحد لواحد، متعدد لواحد، معكوسة نفسها. المطلوب وضع علامة صح في كل خانة صحيحة، وقد يكون في الصف أكثر من علامة.
كيف تحلّه؟
اختبر كل منحنى بخط أفقي: إذا قطعه أكثر من مرة فالدالة متعدد لواحد، وإلا فهي واحد لواحد. الدالة معكوسة نفسها إذا كان منحناها متماثلًا حول الخط الذي فيه الصاد تساوي السين. الفخ: الخلط بين اختبار الخط الأفقي والرأسي.
- 1Graph 1: a horizontal line can meet it more than once → many-one
- 2Graph 2: y = 4 − x on 0 ≤ x ≤ 4 is one-one and symmetric in y = x → own inverse
- 3Graph 3: horizontal lines meet it several times → many-one
- 4Graph 4: strictly increasing → one-one, not symmetric in y = x
AnswerGraph 1: many-one; Graph 2: one-one and its own inverse; Graph 3: many-one; Graph 4: one-one
الجزء (ci) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
دالة أولى هي الجيب على مجال يبدأ من ثلاثين درجة وينتهي بثابت مجهول، ودالة ثانية هي الجذر التربيعي للسين ناقص نصف. المطلوب قيمة الثابت التي تجعل مجال الدالة المركبة أكبر ما يمكن.
كيف تحلّه؟
لكي توجد الدالة المركبة يجب أن يكون الجيب أكبر من أو يساوي نصفًا، لأن الجذر لا يقبل عددًا سالبًا. ابحث عن الفترة التي يبقى فيها الجيب كذلك، مستفيدًا من التماثل حول تسعين درجة. نهاية هذه الفترة هي الثابت.
- 1g needs its input ≥ 1/2, so sin x ≥ 1/2
- 2sin x ≥ 1/2 for 30° ≤ x ≤ 150°
- 3Largest domain: a = 150
Answera = 150
الجزء (cii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
بعد أن وجدت أكبر مجال ممكن للدالة المركبة (الجذر بعد الجيب)، المطلوب مدى هذه الدالة المركبة على ذلك المجال.
كيف تحلّه؟
أوجد أولًا أصغر وأكبر قيمة للجيب على هذا المجال، ثم طبّق عليهما الدالة الثانية: اطرح نصفًا وخذ الجذر. الدالة الثانية متزايدة فالحدّان يعطيان طرفي المدى. الخطأ الشائع: نسيان أن أكبر قيمة للجيب تكون عند تسعين درجة لا عند الطرفين.
- 1For 30° ≤ x ≤ 150°, 1/2 ≤ sin x ≤ 1
- 2gf(x) = √(sin x − 1/2)
- 3Least value √0 = 0, greatest value √(1/2) = 1/√2
Answer0 ≤ gf(x) ≤ 1/√2
الجزء (ciii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة الثانية هي الجذر التربيعي للسين ناقص نصف. المطلوب «حدّد» هل تركيبها مع نفسها (تطبيقها مرتين) موجود أم لا، مع السبب.
كيف تحلّه؟
تركيب الدالة مع نفسها يعني أن مخرجاتها تدخل فيها مرة أخرى، فقارن مدى الدالة الثانية بمجالها: هل كل قيمة في المدى مقبولة داخل المجال؟ تذكّر أصغر قيمة يعطيها الجذر. اذكر السبب لا الجواب وحده.
- 1Range of g is g(x) ≥ 0
- 2Domain of g is x ≥ 1/2
- 3Values 0 ≤ g(x) < 1/2 cannot be put into g, so g² does not exist
AnswerNo: the range of g (g(x) ≥ 0) is not contained in the domain of g (x ≥ 1/2)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara