حل السؤال 9، 0606/12 أكتوبر/نوفمبر 2025: تكامل eˣ والدوال المثلثية و(ax+b)ⁿ
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 11 درجة
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت المشتقة الثانية لمنحنى، وميله عند نقطة معلومة، والمنحنى يمر بتلك النقطة. المطلوب إحداثيا النقطة الثابتة على المنحنى.
كيف تحلّه؟
كامل المشتقة الثانية لتحصل على المشتقة الأولى مع ثابت، واستعمل الميل المعطى لإيجاده. كامل مرة أخرى لتجد معادلة المنحنى وثابتها من النقطة. ثم ساوِ المشتقة الأولى بالصفر لتجد السين، وعوّض في المنحنى. الخطأ الشائع: نسيان القسمة على معامل السين داخل القوس عند التكامل.
- 1f′(x) = ∫ (2x + 5)^(−3/2) dx = −(2x + 5)^(−1/2) + c
- 2f′(2) = 2/3: −1/3 + c = 2/3 ⇒ c = 1, so f′(x) = 1 − (2x + 5)^(−1/2)
- 3f(x) = ∫ f′(x) dx = x − (2x + 5)^(1/2) + d
- 4f(2) = 2: 2 − 3 + d = 2 ⇒ d = 3, so f(x) = x − √(2x + 5) + 3
- 5f′(x) = 0: (2x + 5)^(−1/2) = 1 ⇒ 2x + 5 = 1 ⇒ x = −2
- 6y = −2 − 1 + 3 = 0
Answer(−2, 0)
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
بعد إيجاد النقطة الثابتة على المنحنى، المطلوب «حدّد» نوعها: هل هي نقطة عظمى أم نقطة صغرى؟
كيف تحلّه؟
عوّض بسين النقطة في المشتقة الثانية المعطاة. إذا كانت موجبة فالنقطة صغرى، وإذا كانت سالبة فعظمى. اذكر الإشارة مع الاستنتاج.
- 1f″(−2) = (2(−2) + 5)^(−3/2) = 1^(−3/2) = 1
- 2f″(−2) > 0, so the stationary point is a minimum
AnswerMinimum point, since f″(−2) = 1 > 0
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس تكامل eˣ والدوال المثلثية و(ax+b)ⁿ بالعربي
تدرّب على أسئلة تكامل eˣ والدوال المثلثية و(ax+b)ⁿ
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara