حل السؤال 9، 0606/22 أكتوبر/نوفمبر 2025: الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 5 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
دالة هي اللوغاريتم الطبيعي لـ «ضعف السين زائد خمسة»، معرّفة لقيم السين أكبر من ثابت. المطلوب «اكتب مباشرة» أصغر قيمة ممكنة للثابت.
كيف تحلّه؟
اللوغاريتم يحتاج أن يكون ما بداخله موجبًا، فاجعله أكبر من الصفر وحلّ للسين. حد هذه المتباينة هو الثابت.
- 1ln needs 2x + 5 > 0
- 2x > −5/2, so the least value of a is −5/2
Answera = −5/2
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام أصغر قيمة للثابت التي وجدتها، المطلوب «اكتب مباشرة» مدى دالة اللوغاريتم الطبيعي لـ «ضعف السين زائد خمسة».
كيف تحلّه؟
فكّر: كلما اقتربت السين من بداية المجال صار ما بداخل اللوغاريتم قريبًا من الصفر، فماذا يحدث للوغاريتم؟ وكلما كبرت السين كبر بلا حد؟ استنتج المدى من ذلك.
- 1As x → −5/2, ln(2x + 5) → −∞; as x → ∞, ln(2x + 5) → ∞
- 2Range: f ∈ ℝ
Answerf ∈ ℝ (all real numbers)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة ثانية هي مربع السين زائد واحد لكل الأعداد الحقيقية. المطلوب حل المعادلة: الدالة الأولى بعد الثانية تساوي أربعة، بالصورة الدقيقة.
كيف تحلّه؟
ضع قاعدة الدالة الثانية مكان السين في الدالة الأولى وبسّط ما بداخل اللوغاريتم. ثم أزل اللوغاريتم برفع العدد النيبيري للطرفين، واعزل مربع السين، وخذ الجذر بالإشارتين. الفخ: عكس ترتيب التركيب، أو تقريب الناتج.
- 1fg(x) = ln(2(x² + 1) + 5) = ln(2x² + 7)
- 2ln(2x² + 7) = 4, so 2x² + 7 = e⁴
- 3x² = (e⁴ − 7)/2
- 4x = ±√((e⁴ − 7)/2)
Answerx = ±√((e⁴ − 7)/2)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara