حل السؤال 10، 0606/23 أكتوبر/نوفمبر 2025: الحركة باستخدام التفاضل والتكامل
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 23 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
جسيم يتحرك في خط مستقيم، وإزاحته من نقطة البداية معطاة بكسر: بسطه مقدار خطي في الزمن ومقامه جذر تربيعي لمقدار تربيعي في الزمن. المطلوب الزمن الذي تكون عنده الإزاحة أكبر ما يمكن.
كيف تحلّه؟
الإزاحة العظمى تحدث عندما تساوي مشتقة الإزاحة بالنسبة للزمن صفرًا. اشتق بقاعدة القسمة، واستخدم قاعدة السلسلة لاشتقاق الجذر في المقام. ساوِ البسط الناتج بالصفر، واضرب في الجذر لتتخلص منه، فتختفي حدود مربع الزمن وتبقى معادلة خطية بسيطة. الخطأ الشائع: نسيان ضرب مشتقة ما داخل الجذر عند تطبيق قاعدة السلسلة.
- 1d/dt √(2t² + 100) = ½(2t² + 100)^(−1/2) × 4t = 2t/√(2t² + 100)
- 2ds/dt = (10√(2t² + 100) − (10t + 100) × 2t/√(2t² + 100))/(2t² + 100)
- 3ds/dt = 0: 10(2t² + 100) − 2t(10t + 100) = 0
- 420t² + 1000 − 20t² − 200t = 0
- 51000 − 200t = 0, so t = 5
Answert = 5
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
يعود الجسيم إلى نقطة انطلاقه عند زمن معيّن. المطلوب المسافة الكلية التي يقطعها خلال هذه المدة، ولاحظ أن المطلوب «المسافة» لا الإزاحة.
كيف تحلّه؟
من الشكل، الإزاحة تزداد من قيمتها الابتدائية حتى القيمة العظمى، ثم تنقص حتى تعود إلى القيمة الابتدائية. احسب الإزاحة عند الزمن صفر، وعند زمن القيمة العظمى من الجزء السابق. المسافة الكلية ضعف الفرق بينهما: صعود ثم نزول بالمقدار نفسه. الفخ: الإجابة بصفر لأن الإزاحة النهائية تساوي الابتدائية.
- 1At t = 0, s = 100/10 = 10; at t = 5, s = 150/√150 = √150 (maximum)
- 2The particle goes from s = 10 up to √150 and back to s = 10
- 3Distance = 2(√150 − 10) ≈ 4.49 m
Answer2(√150 − 10) or 4.49 m
الجزء (bii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد الزمن الذي يعود عنده الجسيم إلى نقطة انطلاقه، باستخدام الجبر لا بالقراءة من الرسم.
كيف تحلّه؟
نقطة الانطلاق هي الإزاحة عند الزمن صفر، فاحسبها أولًا ثم ساوِ عبارة الإزاحة بها. اضرب الطرفين في الجذر ثم ربّع الطرفين، فتحصل على معادلة تربيعية في الزمن بلا حد ثابت. حلّلها بإخراج الزمن عاملًا مشتركًا. أحد الحلين هو لحظة البداية فارفضه وخذ الآخر. الفخ: نسيان تربيع العدد في الطرف الأيمن.
- 1(10t + 100)/√(2t² + 100) = 10
- 2(10t + 100)² = 100(2t² + 100)
- 3100t² + 2000t + 10 000 = 200t² + 10 000
- 4100t² = 2000t, so t = 0 or t = 20
- 5T = 20
AnswerT = 20
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الحركة باستخدام التفاضل والتكامل بالعربي
تدرّب على أسئلة الحركة باستخدام التفاضل والتكامل
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara