حل السؤال 2، 0606/23 أكتوبر/نوفمبر 2025: الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 23 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: منحنى دالة يبدأ على المحور الأفقي الموجب ثم يصعد بسرعة ثم يستوي. المطلوب رسم منحنى الدالة العكسية على الرسم نفسه.
كيف تحلّه؟
منحنى العكسية انعكاس للمنحنى في الخط الذي فيه الصاد تساوي السين، فتتبادل الإحداثيات في كل نقطة. ارسم هذا الخط بخفة ليساعدك. نقطة البداية على المحور الأفقي تصبح على المحور الرأسي، والجزء المستوي يصبح شديد الانحدار. الفخ: عكس المنحنى في أحد المحورين.
- 1Reflect each point (a, b) of y = f(x) to (b, a)
- 2The curve starts on the y-axis, rises slowly at first then becomes steep, and crosses y = f(x) on the line y = x at about (4, 4)
AnswerReflection of y = f(x) in the line y = x: starts on the positive y-axis just above the origin, rises slowly then steeply, meeting y = f(x) again at roughly (4, 4)
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «صف» العلاقة الهندسية بين منحنى الدالة ومنحنى دالتها العكسية، أي ما التحويل الذي ينقل أحدهما إلى الآخر.
كيف تحلّه؟
فكّر فيما يحدث للنقطة عند تبديل السين والصاد، وما التحويل الهندسي الذي يفعل ذلك. اذكر التحويل والخط بدقة.
- 1Swapping x and y reflects a graph in the line y = x
- 2The graph of f⁻¹(x) is the reflection of the graph of f(x) in the line y = x
AnswerReflection in the line y = x
الجزء (bi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة هي العدد النيبيري مرفوعًا للجذر التربيعي لـ «السين ناقص اثنين»، لقيم السين من اثنين فأكثر. المطلوب قاعدة دالتها العكسية.
كيف تحلّه؟
اكتب الصاد تساوي القاعدة، ثم أزل الأس بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين، ثم أزل الجذر بالتربيع، ثم اعزل السين. بدّل الرمزين في النهاية. الفخ: تربيع الطرفين قبل أخذ اللوغاريتم.
- 1y = e^(√(x − 2))
- 2ln y = √(x − 2)
- 3(ln y)² = x − 2, so x = (ln y)² + 2
- 4g⁻¹(x) = (ln x)² + 2
Answerg⁻¹(x) = (ln x)² + 2
الجزء (bii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
للدالة الأسية نفسها، المعرّفة لقيم السين من اثنين فأكثر، المطلوب «اكتب مباشرة» مدى دالتها العكسية.
كيف تحلّه؟
مدى الدالة العكسية هو مجال الدالة الأصلية نفسه، فاكتبه بدلالة الدالة العكسية. الفخ: كتابة مجال العكسية بدل مداها.
- 1The range of g⁻¹ is the domain of g
- 2g⁻¹(x) ≥ 2
Answerg⁻¹(x) ≥ 2
الجزء (biii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
دالة ثالثة هي مقلوب مربع السين زائد اثنين، للسين الموجبة. المطلوب قاعدة الدالة الثانية بعد الثالثة في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
ضع قاعدة الدالة الثالثة مكان السين في الدالة الثانية. سيختفي العدد اثنان تحت الجذر، ويبقى جذر مقلوب مربع السين، وهو يبسّط مباشرة لأن السين موجبة. الفخ: عكس ترتيب التركيب.
- 1gh(x) = g(1/x² + 2) = e^(√(1/x² + 2 − 2))
- 2= e^(√(1/x²)) = e^(1/x) since x > 0
Answergh(x) = e^(1/x)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara