حل السؤال 4، 4024/22 مايو/يونيو 2024: متتابعات الأنماط والمتتابعات الخاصة
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك أنماط على شبكة مثلثية، كل نمط مثلث كبير مكوّن من مثلثات صغيرة بعضها مظلل باللون الرمادي. المطلوب أن ترسم النمط الخامس على الشبكة.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن كل نمط يزيد صفًا واحدًا من المثلثات الصغيرة في أسفله. ارسم مثلثًا كبيرًا بصف إضافي على النمط الرابع. ثم ظلّل المثلثات المقلوبة (التي رأسها إلى الأسفل) كما في الأنماط السابقة، واترك المثلثات القائمة بيضاء.
- 1Pattern 5 is a large triangle with 5 rows: 25 small triangles
- 2Shade the 10 upside-down small triangles grey
AnswerPattern 5 drawn: a large triangle of 25 small triangles with the 10 inverted small triangles shaded grey
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إكمال الجدول للأنماط الرابع والخامس والسادس: العدد الكلي للمثلثات، وعدد المثلثات الرمادية، وعدد المثلثات البيضاء.
كيف تحلّه؟
العدد الكلي يتبع نمط الأعداد المربعة. المثلثات الرمادية تزيد بمقدار يكبر بواحد في كل مرة، فأكمل هذا النمط. عدد البيضاء هو العدد الكلي مطروحًا منه عدد الرمادية. يمكنك التحقق من النمطين الرابع والخامس بالعدّ في الرسم.
- 1Total = n²: 16, 25, 36
- 2Grey goes 0, 1, 3, 6, 10, 15 (add 1, 2, 3, 4, 5)
- 3White = total − grey: 10, 15, 21
Answer| Pattern (n) | 4 | 5 | 6 | | Total number of triangles | 16 | 25 | 36 | | Number of grey triangles | 6 | 10 | 15 | | Number of white triangles | 10 | 15 | 21 |
الجزء (aiii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تكتب تعبيرًا جبريًا بدلالة (ن) يعطي العدد الكلي للمثلثات في النمط رقم (ن).
كيف تحلّه؟
انظر إلى صف العدد الكلي في الجدول وتعرّف على نوع هذه الأعداد؛ إنها أعداد مألوفة جدًا مرتبطة برقم النمط مباشرة. اكتب التعبير الذي يعطيها.
- 11, 4, 9, 16 are square numbers: n²
Answern²
الجزء (aiv) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تكتب تعبيرًا جبريًا بدلالة (ن) يعطي عدد المثلثات البيضاء في النمط رقم (ن).
كيف تحلّه؟
احسب الفروق بين أعداد المثلثات البيضاء ثم فروق الفروق؛ ستجد الفرق الثاني ثابتًا، فالقاعدة تربيعية ومعامل مربع (ن) هو نصف الفرق الثاني. اطرح هذا الجزء من كل حد، وستجد أن الباقي متتابعة بسيطة بدلالة (ن)، فاجمع الجزأين. هذه الأعداد هي الأعداد المثلثية المعروفة، ويمكنك التحقق على أي نمط من الجدول.
- 1White: 1, 3, 6, 10; differences 2, 3, 4; second difference 1
- 2Second difference 1, so the n² term is (1/2)n²
- 3Take away (1/2)n²: 1/2, 1, 3/2, 2, which is (1/2)n
- 4White triangles = (1/2)n² + (1/2)n
Answer(1/2)n² + (1/2)n
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
متتابعة خطية، أي تتغيّر بمقدار ثابت في كل خطوة. أنت تعرف حدها الثالث وحدها الثامن. المطلوب إيجاد حدها الأول.
كيف تحلّه؟
بين الحد الثالث والحد الثامن خمس خطوات متساوية، فاقسم الفرق بينهما على خمسة لتجد المقدار الثابت، وهو هنا سالب لأن المتتابعة تتناقص. ثم ارجع من الحد الثالث خطوتين إلى الوراء لتصل إلى الحد الأول. الخطأ الشائع أن تقسم على ستة أو أن ترجع في الاتجاه الخطأ.
- 15 differences from 34 to 14: d = (14 − 34)/5 = −4
- 2First term = 34 − 2 × (−4) = 42
Answer42
الجزء (bii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
للمتتابعة نفسها، المطلوب قيمة أول حد سالب فيها، أي أول حد يصبح أقل من الصفر.
كيف تحلّه؟
اكتب الحد العام باستخدام الحد الأول والمقدار الثابت، أو استمر بالطرح من حد إلى حد. ابحث عن آخر حد موجب، ثم الحد الذي يليه هو أول حد سالب. انتبه: المطلوب قيمة الحد نفسه لا ترتيبه.
- 1nth term = 42 − 4(n − 1) = 46 − 4n
- 211th term = 2, 12th term = −2
- 3First negative term = −2
Answer−2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس متتابعات الأنماط والمتتابعات الخاصة بالعربي
تدرّب على أسئلة متتابعات الأنماط والمتتابعات الخاصة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara