حل السؤال 10، 4024/22 أكتوبر/نوفمبر 2023: المحيط والمساحة والحجم المركب
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مجسم مكوّن من مخروط كبير رأسه إلى الأسفل، أُزيل من وسط قاعدته العلوية مخروط صغير مشابه له رياضيًا. معلوم ارتفاع المخروطين وقطر القمة. المطلوب أن تثبت أن حجم المجسم يساوي القيمة المعطاة بدلالة النسبة التقريبية. عبارة «أثبت» تعني أن الجواب معروف، وعليك أن تعرض كل خطوة توصل إليه.
كيف تحلّه؟
احسب نصف قطر المخروط الصغير من التشابه، بضرب نصف قطر الكبير في نسبة الارتفاعين. احسب حجم كل مخروط بالقانون المعطى، واترك النسبة التقريبية رمزًا دون تعويض. اطرح حجم الصغير من حجم الكبير. الفخ الشائع هو استعمال القطر بدل نصف القطر، أو تعويض النسبة التقريبية بعدد عشري.
- 1Small cone radius = 14/21 × 9 = 6
- 2Large cone: 1/3 × π × 9² × 21 = 567π
- 3Small cone: 1/3 × π × 6² × 14 = 168π
- 4Volume = 567π − 168π = 399π cm³
Answer1/3 × π × 9² × 21 − 1/3 × π × 6² × 14 = 399π or (1 − (2/3)³) × 1/3 × π × 9² × 21 = 399π
الجزء (aii) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مجسم على شكل مخروط كبير رأسه إلى الأسفل، أُزيل من وسط قمته مخروط صغير مشابه له. ارتفاع المخروطين وقطر القمة معطاة. المطلوب المساحة الكلية لسطح المجسم، والقوانين معطاة. السؤال عليه درجات كثيرة فاكتب كل خطوة.
كيف تحلّه؟
أوجد نصف قطر المخروط الصغير بعامل التشابه، وهو نسبة الارتفاعين. احسب الارتفاع المائل لكل مخروط بنظرية فيثاغورس. السطح الكلي ثلاثة أجزاء: السطح الجانبي الخارجي للمخروط الكبير، والسطح الجانبي الداخلي للمخروط الصغير (التجويف)، والحلقة المسطحة في القمة وهي مساحة الدائرة الكبيرة مطروحًا منها الصغيرة. اجمعها. الخطأ الشائع طرح سطح المخروط الصغير بدل إضافته، فهو سطح ظاهر داخل التجويف.
- 1Scale factor 14/21 = 2/3, so small cone radius = 9 × 2/3 = 6 cm
- 2Slant heights: large √(21² + 9²) = √522, small √(14² + 6²) = √232
- 3Outer curved surface = π × 9 × √522 = 645.99…; inner = π × 6 × √232 = 287.10…
- 4Top ring = π × 9² − π × 6² = 45π = 141.37…
- 5Total = 645.99 + 287.10 + 141.37 = 1074.47… ≈ 1070 cm²
Answer1070 or 1074 to 1075
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أسطوانة ارتفاعها مقرّب لأقرب سنتيمتر، ونصف قطر قاعدتها مقرّب لأقرب عُشر سنتيمتر. المطلوب الحدّ الأعلى لحجمها بالسنتيمتر المكعب. السؤال عليه ثلاث درجات، فاكتب خطواتك.
كيف تحلّه؟
حجم الأسطوانة هو مساحة القاعدة الدائرية مضروبة في الارتفاع، ومساحة القاعدة هي النسبة التقريبية مضروبة في مربع نصف القطر. لأكبر حجم نأخذ الحدّ الأعلى للارتفاع، بإضافة نصف سنتيمتر، والحدّ الأعلى لنصف القطر، بإضافة نصف عُشر. ثم نقرّب الناتج إلى ثلاثة أرقام معنوية.
- 1Upper bounds: h = 13.5 cm, r = 4.55 cm
- 2V = π × 4.55² × 13.5
- 3= 878.0… ≈ 878 cm³
Answer878 or 878.0 to 878.1…
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المحيط والمساحة والحجم المركب بالعربي
تدرّب على أسئلة المحيط والمساحة والحجم المركب
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara