حل السؤال 8، 4024/21 أكتوبر/نوفمبر 2020: الاحتمال الشرطي
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الكيس كرات حمراء عددها مجهول ويرمز له «ن»، والباقي أخضر. تسحب إستر كرتين دون إرجاع. المطلوب إكمال الفرعين الناقصين بعد سحب كرة خضراء أولًا، بدلالة «ن».
كيف تحلّه؟
بعد سحب كرة خضراء ينقص العدد الكلي بواحد، ويبقى عدد الحمراء «ن» كما هو، وينقص عدد الخضراء بواحد. اكتب كل احتمال على العدد المتبقي، وتأكد أن مجموع الفرعين واحد.
- 1After a green first ball, 35 balls are left and n are red
- 2Red: n/35, Green: (35 − n)/35
Answern/35 and (35−n)/35 correctly positioned on tree diagram
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في كيس عدد معلوم من الكرات، منها عدد أحمر يرمز له بـ«ن» والباقي أخضر. تسحب إستير كرتين عشوائيًا دون إعادة. المطلوب: اكتب مقدارًا بدلالة «ن» لاحتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية خضراء. «دون إعادة» تعني أن الكرة الأولى لا تعود إلى الكيس.
كيف تحلّه؟
احتمال الأولى حمراء هو «ن» على العدد الكلي. بعد سحبها ينقص العدد الكلي بواحد، وعدد الخضراء هو العدد الكلي الأصلي ناقص «ن»، فاحتمال الثانية خضراء هو عدد الخضراء على العدد الجديد. اضرب الاحتمالين. الخطأ الشائع: عدم إنقاص المقام في السحبة الثانية.
- 1P(red then green) = n/36 × (36 − n)/35
Answern/36×(36−n)/35
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت قيمة احتمال أن تكون الأولى حمراء والثانية خضراء. المطلوب: أثبت أن المعادلة التربيعية المكتوبة في السؤال صحيحة. «أثبت» تعني أن تبدأ من المعطيات وتصل إلى المعادلة المعطاة بخطوات واضحة، لا أن تحلّها.
كيف تحلّه؟
ساوِ المقدار الذي كتبته في الجزء السابق بالاحتمال المعطى. اضرب الطرفين في المقامات لتتخلص من الكسور، ثم فكّ الأقواس. انقل كل الحدود إلى طرف واحد ورتّبها حتى تطابق المعادلة المعطاة تمامًا. لا تتخطَّ خطوات، فالمصحّح يريد رؤية كل تحويل.
- 1n(36 − n)/(36 × 35) = 1/7
- 27n(36 − n) = 1260
- 336n − n² = 180
- 4n² − 36n + 180 = 0
AnswerCorrect rearrangement to n² − 36n + 180 = 0
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
حلّ المعادلة التربيعية في المجهول ن وأوجد قيمتيه، مع إظهار خطواتك.
كيف تحلّه؟
ابحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت ومجموعهما يساوي معامل ن، واكتب المعادلة كحاصل ضرب قوسين. اجعل كل قوس يساوي صفرًا وحلّه. انتبه: الحد الثابت موجب ومعامل ن سالب، فالعددان داخل القوسين سالبان والحلّان موجبان.
- 1Find two numbers that multiply to 180 and add to 36: 6 and 30.
- 2n² − 36n + 180 = (n − 6)(n − 30) = 0
- 3n − 6 = 0 or n − 30 = 0, so n = 6, 30
Answer6, 30
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
كيس فيه كرات حمراء والباقي خضراء، وعدد الحمراء هو المجهول الذي وجدته في جزء سابق. إستر تسحب كرتين عشوائيًا «دون إعادة»، أي لا تُرجع الكرة الأولى. معلوم أن الخضراء أكثر من الحمراء، والمطلوب احتمال أن تكون الكرتان خضراوين، والجواب كسر في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
استخدم شرط أن الخضراء أكثر من الحمراء لتختار القيمة الصحيحة للمجهول من الجزء السابق، ثم جد عدد الكرات الخضراء. احتمال الأولى خضراء هو عدد الخضراء على الكلي، واحتمال الثانية بعد إنقاص كل منهما بواحد. اضرب الاحتمالين ثم بسّط الكسر تمامًا. الفخ أن تختار القيمة الأخرى للمجهول، أو أن تنسى أن السحب دون إعادة.
- 1More green than red, so n = 6 and there are 30 green balls
- 2P(green, green) = 30/36 × 29/35 = 870/1260
- 3= 29/42
Answer29/42
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الاحتمال الشرطي بالعربي
تدرّب على أسئلة الاحتمال الشرطي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara