حل السؤال 9، 4024/21 أكتوبر/نوفمبر 2020: التعبير عن المتجهات بدلالة a و b
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
معطاة إحداثيات نقطتين. المطلوب المتجه من النقطة الأولى إلى الثانية، ويُكتب متجهًا عموديًا.
كيف تحلّه؟
نطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية، كل إحداثي من نظيره. انتبه لترتيب الطرح، فعكسه يقلب الإشارات.
- 1→HJ = (−3 − 5, 6 − 2) = column vector (−8, 4)
Answercolumn vector (−8, 4)
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«مقدار» المتجه يعني طوله. المطلوب حساب طول المتجه الذي وجدته في الجزء السابق، مقرّبًا لثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
نربّع كل مركّبة من مركّبتي المتجه ونجمع المربعين، ثم نأخذ الجذر التربيعي، كما في نظرية فيثاغورس. مربع العدد السالب موجب. نقرّب الناتج لثلاثة أرقام معنوية.
- 1→HJ = (−3 − 5, 6 − 2) = (−8, 4)
- 2|→HJ| = √((−8)² + 4²) = √(64 + 16) = √80
- 3√80 = 8.944...
Answer8.944...
الجزء (aiii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«متجه الموضع» لنقطة هو المتجه من نقطة الأصل إليها. نقطة جديدة هي منتصف القطعة بين النقطتين المعطاتين. المطلوب متجه موضع نقطة المنتصف، ويُكتب متجهًا عموديًا.
كيف تحلّه؟
نوجد إحداثيات نقطة المنتصف بأخذ متوسط الإحداثيين الأفقيين ومتوسط الإحداثيين الرأسيين، أي نجمع ونقسم على اثنين. ثم نكتب الإحداثيين متجهًا عموديًا. ويمكن أيضًا أن نضيف نصف المتجه بين النقطتين إلى موضع النقطة الأولى. انتبه أن المطلوب متجه وليس زوج إحداثيات.
- 1M = ((5 + (−3))/2, (2 + 6)/2) = (1, 4)
- 2Position vector of M = column vector (1, 4)
Answercolumn vector (1, 4)
الجزء (bia) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
شكل مكوَّن من مثلثات متساوية الأضلاع متطابقة، ومعطى متجهان على ضلعين خارجين من نقطة الأصل. المطلوب «عبّر» أي اكتب المتجه بين نقطتين محددتين في الشكل بدلالة المتجهين، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
كل أضلاع المثلثات متساوية، والأضلاع المتوازية التي لها نفس الاتجاه لها نفس المتجه. امشِ من نقطة البداية إلى النهاية على أضلاع المثلثات، واكتب كل ضلع بالمتجه الموازي له، ثم اجمع.
- 1→FG = p and →GB = p
- 2→FB = 2p
Answer2p
الجزء (bib) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
نفس الشكل المكوَّن من المثلثات. المطلوب المتجه بين نقطتين أخريين بدلالة المتجهين، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
ابحث عن قطعة توازي المسار المطلوب وتساويه ويسهل التعبير عنها، أو امشِ على أضلاع المثلثات. كل ضلع تسير عليه يساوي أحد المتجهين المعطيين أو عكسه. اجمع الأجزاء.
- 1→FE = →OG = →OA + →AG = p + q
Answerp + q
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
نفس الشكل، ونقطة تقسم القطعة التي وجدتها في الجزء الأول بنسبة معلومة. المطلوب المتجه من الأصل إلى هذه النقطة، في أبسط صورة. اعرض خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
الجزء من بداية القطعة إلى النقطة كسر منها: الجزء الأول من النسبة على مجموع جزأيها، فاضرب متجه القطعة فيه. ثم امشِ من الأصل إلى بداية القطعة وأضف هذا الجزء.
- 1→FX = 3/4 × 2p = 3/2 p
- 2→OX = →OF + →FX = q + 3/2 p = 3/2 p + q
Answer3/2 p + q
الجزء (biii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نفس الشكل. نقطة جديدة تقع على قطعة أخرى بحيث يصبح الشكل الرباعي المكوَّن من الأصل والنقاط الثلاث شبه منحرف. المطلوب المتجه من النقطة السابقة إلى النقطة الجديدة، في أبسط صورة. اعرض خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
حدّد أي ضلعين في شبه المنحرف متوازيان. اكتب متجه الضلع الذي ينتهي عند النقطة الجديدة مستخدمًا مضاعفًا مجهولًا على القطعة التي تقع عليها. بما أنه يوازي الضلع الآخر، فهو مضاعف لمتجهه؛ قارن المعاملات لتجد المجهول. ثم امشِ من النقطة السابقة إلى الجديدة بطرح المتجهات المناسبة. الفخ الشائع: اختيار الضلعين المتوازيين بشكل خاطئ.
- 1OXYF is a trapezium with FY parallel to OX, and Y is on BD so →BY = kq
- 2→FY = 2p + kq must be a multiple of 3/2 p + q: k = 4/3, →FY = 2p + 4/3 q
- 3→XY = →FY − →FX = 2p + 4/3 q − 3/2 p
- 4= 1/2 p + 4/3 q
Answer1/2 p + 4/3 q
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التعبير عن المتجهات بدلالة a و b بالعربي
تدرّب على أسئلة التعبير عن المتجهات بدلالة a و b
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara