حل السؤال 21، 4MA1/1HR يونيو 2023: ميل المنحنى عند نقطة
Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A 4MA1 · Paper 1HR (Higher) · بالآلة الحاسبة · 6 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى من الدرجة الثالثة. المطلوب إيجاد المشتقة، أي الدالة التي تعطي ميل المنحنى عند أي نقطة.
كيف تحلّه؟
نشتق كل حد على حدة: نضرب المعامل في الأس ثم ننقص الأس واحدًا. حد «س» وحده يصبح معامله، والحد الثابت يختفي. الفخّ: إبقاء الحد الثابت في الجواب.
- 1Differentiate x³: 3x²
- 2Differentiate −2x²: −4x
- 3Differentiate −9x: −9
- 4Derivative of constant 15 is 0
- 5So dy/dx = 3x² − 4x − 9
Answer3x² − 4x − 9
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد مدى قيم «س» التي يكون عندها ميل المنحنى نفسه موجبًا، أي التي يكون فيها المنحنى صاعدًا. قرّب القيم لثلاثة أرقام معنوية، وأظهر طريقتك بوضوح.
كيف تحلّه؟
الميل الموجب يعني أن المشتقة أكبر من الصفر. نجد القيمتين اللتين تجعلان المشتقة صفرًا باستخدام القانون العام لأنها لا تتحلل بسهولة. المشتقة تربيعية مفتوحة للأعلى، فهي موجبة خارج الفترة بين القيمتين، فيكون الجواب منطقتين منفصلتين. الفخّ: كتابة الفترة الواقعة بين القيمتين، فهي منطقة الميل السالب.
- 1Set derivative greater than 0: 3x² − 4x − 9 > 0
- 2Solve 3x² − 4x − 9 = 0 using quadratic formula
- 3x = [4 ± √((−4)² − 4×3×(−9))] / (2×3)
- 4x = [4 ± √(16 + 108)] / 6
- 5x = [4 ± √124] / 6
- 6√124 = √(4×31) = 2√31 ≈ 11.1355
- 7x = (4 + 11.1355)/6 ≈ 15.1355/6 ≈ 2.5226
- 8x = (4 − 11.1355)/6 ≈ −7.1355/6 ≈ −1.1892
- 9Critical values: x ≈ −1.189 and x ≈ 2.523
- 10The parabola 3x² − 4x − 9 opens upwards (coefficient of x² positive)
- 11So gradient is positive when x < −1.189 or x > 2.523
- 12Rounded to 3 significant figures: x < −1.19 or x > 2.52
Answerx < −1.19 or x > 2.52
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس ميل المنحنى عند نقطة بالعربي
تدرّب على أسئلة ميل المنحنى عند نقطة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara