حل السؤال 15، 4MA1/1H نوفمبر 2021: المخططات الشجرية للأحداث المستقلة
Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A 4MA1 · Paper 1H (Higher) · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
يلعب ماغنوس وغاري مباراتين في الشطرنج، ولكل مباراة ثلاث نتائج ممكنة: فوز ماغنوس، أو التعادل، أو خسارة ماغنوس. نعرف احتمال الفوز واحتمال التعادل، ونتيجة كل مباراة «مستقلة»، أي لا تتأثر بالأخرى. المطلوب «أكمل» مخطط الشجرة للاحتمالات.
كيف تحلّه؟
مجموع احتمالات النتائج الثلاث يساوي واحدًا، فاطرح احتمالي الفوز والتعادل من واحد لتعرف احتمال الخسارة واكتبه على فرع المباراة الأولى. ثم اكتب الاحتمالات الثلاثة نفسها على فروع المباراة الثانية بعد كل نتيجة، لأن المباراتين مستقلتان. الخطأ الشائع: نسيان التعادل عند حساب احتمال الخسارة.
- 1The three outcomes add to 1: P(Magnus loses) = 1 − 2/9 − 4/9 = 3/9
- 2First game: Magnus loses = 3/9
- 3Games are independent, so each second-game set is 2/9, 4/9, 3/9
AnswerFirst game: Magnus loses 3/9. Second game, on all three pairs of branches: Magnus wins 2/9, Game drawn 4/9, Magnus loses 3/9
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في كل مباراة يأخذ الفائز نقطتين والخاسر لا شيء، وعند التعادل يأخذ كل لاعب نقطة. المطلوب «احسب» احتمال أن يكون مع اللاعبين العدد نفسه من النقاط بعد مباراتين.
كيف تحلّه؟
فكّر أولًا متى تتساوى النقاط: إما تعادل في المباراتين، أو فوز ماغنوس في مباراة وخسارته في الأخرى بأي ترتيب. احسب احتمال كل مسار من الشجرة بضرب احتمالاته، ثم اجمع احتمالات هذه المسارات. الخطأ الشائع: نسيان أن الفوز ثم الخسارة يختلف عن الخسارة ثم الفوز، فيُحسب الترتيب مرة واحدة فقط.
- 1Equal points after 2 games: both drawn, or one win and one loss each way
- 2P(D, D) = 4/9 × 4/9 = 16/81
- 3P(W, L) + P(L, W) = 2/9 × 3/9 + 3/9 × 2/9 = 12/81
- 416/81 + 12/81 = 28/81
Answer28/81
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
يلعب ماغنوس وغاري الآن مباراة ثالثة. المطلوب «احسب» احتمال أن يكون مع اللاعبين العدد نفسه من النقاط بعد المباريات الثلاث.
كيف تحلّه؟
تتساوى النقاط بعد ثلاث مباريات في حالتين: تعادل في المباريات الثلاث، أو فوز واحد وخسارة واحدة وتعادل واحد بأي ترتيب. احسب احتمال التعادلات الثلاثة بالضرب، واحسب احتمال فوز وخسارة وتعادل لترتيب واحد ثم اضربه في عدد الترتيبات الممكنة. اجمع الحالتين. الخطأ الشائع: حساب ترتيب واحد فقط للفوز والخسارة والتعادل.
- 1Equal points after 3 games: three draws, or one win, one loss and one draw
- 2P(D, D, D) = (4/9)³ = 64/729
- 3Win, loss, draw in any of 6 orders: 6 × 2/9 × 3/9 × 4/9 = 144/729
- 464/729 + 144/729 = 208/729
Answer208/729
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المخططات الشجرية للأحداث المستقلة بالعربي
تدرّب على أسئلة المخططات الشجرية للأحداث المستقلة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara