حل السؤال 4، 4PM1/02 يناير 2020: البراهين المتجهية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 7 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
شكل رباعي، معطاة متجهات ثلاثة من رؤوسه انطلاقًا من الرأس الأول، وفيها ثابت مجهول. المطلوب «بيّن أن» الشكل متوازي أضلاع مهما كانت قيمة الثابت.
كيف تحلّه؟
احسب متجه الضلع المقابل للضلع الأول بطرح متجهين معلومين: من الرأس الرابع إلى الثالث. قارنه بمتجه الضلع الأول؛ إذا كانا متساويين فالضلعان متوازيان ومتساويان في الطول. اكتب الاستنتاج صراحة. الفخ: طرح المتجهين بالترتيب المعكوس فتحصل على إشارة معاكسة.
- 1DC = AC − AD = (11i − pj) − (4i − 2pj) = 7i + pj
- 2So DC = AB for all p
- 3AB and DC are parallel and equal in length, so ABCD is a parallelogram
AnswerDC = 7i + pj = AB (and BC = 4i − 2pj = AD), so opposite sides are parallel and equal: ABCD is a parallelogram
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معطى طول القطر من الرأس الثاني إلى الرأس الرابع بصورة جذرية. المطلوب القيم الممكنة للثابت.
كيف تحلّه؟
اكتب متجه هذا القطر: متجه الرأس الرابع ناقص متجه الرأس الثاني. طوله جذر مجموع مربعي مركّبتيه. ساوِ مربع الطول بمربع القيمة المعطاة، فتحصل على معادلة في مربع الثابت. لا تنسَ القيمتين الموجبة والسالبة. الفخ: نسيان تربيع المعامل مع الثابت في المركبة الثانية.
- 1BD = AD − AB = (4i − 2pj) − (7i + pj) = −3i − 3pj
- 2|BD|² = 9 + 9p² = (3√10)² = 90
- 3p² = 9
- 4p = ±3
Answerp = 3, p = −3
الجزء (c) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
مع شرط أن الثابت موجب، المطلوب متجه وحدة (طوله واحد) يوازي القطر الواصل بين الرأس الثاني والرأس الرابع.
كيف تحلّه؟
عوّض بالقيمة الموجبة للثابت لتجد متجه القطر، ثم اقسمه على طوله المعلوم من المعطيات. متجه الوحدة طوله واحد ويحافظ على اتجاه القطر. الفخ: القسمة على مربع الطول بدل الطول.
- 1p = 3: BD = −3i − 9j
- 2|BD| = √90 = 3√10
- 3Unit vector = (−3i − 9j)/(3√10) = −(i + 3j)/√10
Answer±(−3i − 9j)/(3√10), i.e. ±(i + 3j)/√10
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس البراهين المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة البراهين المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara