حل السؤال 10، 4PM1/01R يناير 2022: قوانين الجمع
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«باستخدام نظرية العوامل» المطلوب إثبات أن القوس (أربعة أمثال السين ناقص ثلاثة) عامل من عوامل كثيرة الحدود التكعيبية المعطاة.
كيف تحلّه؟
القوس يساوي صفرًا عندما تكون السين ثلاثة أرباع. عوّض بهذه القيمة في كثيرة الحدود واحسب بالكسور: إن كان الناتج صفرًا فالقوس عامل. اكتب الجملة الختامية. الفخ: التعويض بثلاثة أو بأربعة بدل جذر القوس.
- 1f(3/4) = 16(3/4)³ + 11(3/4) − 15
- 2= 27/4 + 33/4 − 15 = 0
- 3So (4x − 3) is a factor
Answerf(3/4) = 0, so (4x − 3) is a factor
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«باستخدام القوانين المعطاة في الصفحة الثانية» المطلوب إثبات متطابقتي ضعف الزاوية: الجيب أولًا، ثم جيب التمام بصورته التي فيها مربع جيب التمام وحده.
كيف تحلّه؟
اكتب ضعف الزاوية مجموع الزاوية مع نفسها، وطبّق قانوني جيب وجيب تمام مجموع زاويتين. في جيب التمام ستحصل على مربع جيب التمام ناقص مربع الجيب؛ استبدل مربع الجيب بواحد ناقص مربع جيب التمام وبسّط. الفخ: نسيان القوس عند طرح الاستبدال فتخطئ الإشارة.
- 1(i) sin 2θ = sin(θ + θ) = sin θ cos θ + cos θ sin θ = 2 sin θ cos θ
- 2(ii) cos 2θ = cos(θ + θ) = cos²θ − sin²θ
- 3= cos²θ − (1 − cos²θ)
- 4= 2 cos²θ − 1
Answer(i) sin 2θ = 2 sin θ cos θ shown (ii) cos 2θ = 2 cos²θ − 1 shown
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«بيّن أن» المعادلة المثلثية المعطاة تتحول إلى المعادلة التكعيبية في الجزء الأول عند وضع السين مكان جيب تمام ثيتا.
كيف تحلّه؟
استبدل جيب تمام ضعف الزاوية وجيب ضعف الزاوية بالمتطابقتين من الجزء السابق. سيظهر مربع الجيب؛ استبدله بواحد ناقص مربع جيب التمام. فكّ الأقواس واجمع الحدود المتشابهة، ثم ضع السين مكان جيب التمام. الفخ: الخطأ في جمع معاملات مكعب جيب التمام.
- 127 cos θ(2 cos²θ − 1) + 19 sin θ(2 sin θ cos θ) − 15 = 0
- 254 cos³θ − 27 cos θ + 38(1 − cos²θ) cos θ − 15 = 0
- 354 cos³θ − 27 cos θ + 38 cos θ − 38 cos³θ − 15 = 0
- 416 cos³θ + 11 cos θ − 15 = 0
- 5With x = cos θ: 16x³ + 11x − 15 = 0
Answer16x³ + 11x − 15 = 0 shown
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» المطلوب إثبات أن أي حل للمعادلة المثلثية يجب أن يكون جيب تمامه ثلاثة أرباع.
كيف تحلّه؟
استخدم العامل من الجزء الأول، واقسم كثيرة الحدود عليه لتحصل على عامل تربيعي. احسب مميز هذا العامل: إن كان سالبًا فلا جذور حقيقية له. إذن الجذر الوحيد يأتي من العامل الخطي. الفخ: إهمال إثبات أن العامل التربيعي بلا حلول.
- 116x³ + 11x − 15 = (4x − 3)(4x² + 3x + 5)
- 2For 4x² + 3x + 5: b² − 4ac = 9 − 80 < 0, so no real roots
- 3So the only solution is 4x − 3 = 0
- 4cos θ = 3/4
Answercos θ = 3/4 is the only solution, shown
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قوانين الجمع بالعربي
تدرّب على أسئلة قوانين الجمع
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara