حل السؤال 7، 4PM1/01R يناير 2023: الحركة باستخدام التفاضل والتكامل
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
جسيم يتحرك على محور السينات، وسرعته دالة تربيعية في الزمن. المطلوب سرعته عندما يكون الزمن ثانية واحدة.
كيف تحلّه؟
عوّض بالزمن المعطى في عبارة السرعة مباشرة واحسب. لا تحتاج اشتقاقًا ولا تكاملًا هنا. اكتب الوحدة: متر في الثانية.
- 1v = 1² − 10(1) + 28
- 2v = 19 m/s
Answer19 m/s
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
بُعد الجسيم عن الأصل أربعة وعشرون مترًا عندما يكون الزمن ثلاث ثوانٍ. المطلوب بُعده عن الأصل عندما يكون الزمن خمس ثوانٍ.
كيف تحلّه؟
الموقع هو تكامل السرعة بالنسبة للزمن، فكامل كل حد وأضف ثابت التكامل. عوّض بالزمن والموقع المعطيين لتجد الثابت، ثم عوّض بالزمن الجديد في عبارة الموقع. الفخ: نسيان الثابت، أو افتراض أن الجسيم بدأ من الأصل.
- 1s = ∫ (t² − 10t + 28) dt = t³/3 − 5t² + 28t + c
- 2t = 3, s = 24: 24 = 9 − 45 + 84 + c → c = −24
- 3s = t³/3 − 5t² + 28t − 24
- 4t = 5: s = 125/3 − 125 + 140 − 24 = 98/3 m
Answer98/3 m (32.7 m)
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
التسارع هو معدل تغير السرعة. المطلوب تسارع الجسيم عندما يكون الزمن تسع ثوانٍ، بالمتر لكل ثانية مربعة.
كيف تحلّه؟
التسارع هو مشتقة السرعة بالنسبة للزمن. اشتق عبارة السرعة ثم عوّض بالزمن المعطى. الفخ: التعويض في السرعة نفسها بدل مشتقتها.
- 1a = dv/dt = 2t − 10
- 2t = 9: a = 18 − 10 = 8 m/s²
Answer8 m/s²
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أولًا «بيّن أن» الجسيم لا يتوقف لحظيًا أبدًا، أي أن سرعته لا تساوي صفرًا في أي وقت. ثانيًا أوجد أصغر مقدار لسرعته.
كيف تحلّه؟
أكمل المربع في عبارة السرعة: مربع (الزمن ناقص عدد) زائد عدد ثابت. المربع لا يقل عن صفر، فالسرعة لا تقل عن ذلك العدد الثابت الموجب، ولذلك لا تساوي صفرًا. أو احسب المميز وبيّن أنه سالب. أصغر سرعة هي ذلك العدد الثابت، وتحدث عندما يكون المربع صفرًا. الفخ: الخطأ في إكمال المربع.
- 1v = t² − 10t + 28 = (t − 5)² + 3
- 2(t − 5)² ≥ 0 so v ≥ 3 > 0: P is never at rest
- 3(or discriminant (−10)² − 4(1)(28) = −12 < 0: no real roots)
- 4Least magnitude of velocity = 3 m/s (at t = 5)
Answer(i) v = (t − 5)² + 3 ≥ 3 > 0, so P is never at rest; (ii) 3 m/s
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الحركة باستخدام التفاضل والتكامل بالعربي
تدرّب على أسئلة الحركة باستخدام التفاضل والتكامل
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara