حل السؤال 3، 4PM1/02 يناير 2023: المعادلات الآنية مع منحنى
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة تربيعية معامل مربع السين فيها ليس واحدًا. المطلوب كتابتها على صورة ثابت في مربع (السين زائد ثابت) زائد ثابت، وإيجاد الثوابت الثلاثة.
كيف تحلّه؟
أخرج معامل مربع السين من حدّي السين، ثم أكمل المربع داخل القوس بنصف معامل السين الجديد. اطرح مربع هذا النصف داخل القوس، ثم اضربه في العامل الخارجي واجمعه مع الثابت. الفخ: نسيان ضرب الحد المطروح في العامل الخارجي، أو الخطأ في جمع الكسور.
- 1f(x) = 8(x² + (5/4)x) − 3
- 2= 8[(x + 5/8)² − 25/64] − 3
- 3= 8(x + 5/8)² − 25/8 − 3
- 4= 8(x + 5/8)² − 49/8
AnswerA = 8, B = 5/8, C = −49/8
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ، أو بطريقة أخرى» المطلوب قيمة السين التي تكون عندها الدالة أصغر ما يمكن، ثم القيمة الصغرى نفسها.
كيف تحلّه؟
مربع القوس لا يكون سالبًا، فأصغر قيمة له صفر، وذلك عندما يساوي ما داخل القوس صفرًا. عندها تساوي الدالة الثابت الأخير في الصورة المكتملة. الفخ: الخطأ في إشارة السين عند جعل القوس صفرًا.
- 1The minimum is where x + 5/8 = 0
- 2x = −5/8
- 3Minimum value = C = −49/8
Answer(i) x = −5/8 (ii) −49/8
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى الدالة نفسها. المطلوب الإحداثي السيني لكل نقطة يقطع فيها المنحنى محور السينات.
كيف تحلّه؟
ساوِ الدالة بالصفر، وحلّل المقدار التربيعي إلى قوسين (أو استخدم الصورة المكتملة)، ثم ساوِ كل قوس بالصفر. الفخ: الخطأ في إشارة أحد القوسين عند التحليل.
- 18x² + 10x − 3 = 0
- 2(4x − 1)(2x + 3) = 0
- 3x = 1/4 or x = −3/2
Answerx = −3/2 and x = 1/4
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
خط مستقيم معادلته معطاة. المطلوب باستخدام الجبر إحداثيات نقطتي تقاطعه مع منحنى الدالة.
كيف تحلّه؟
ساوِ الدالة التربيعية بعبارة الخط، وانقل كل الحدود لطرف واحد. اقسم على العامل المشترك ثم حلّل. عوّض بكل قيمة للسين في معادلة الخط لتجد الصاد، فهي أسهل من معادلة المنحنى. الفخ: نسيان إيجاد الصاد والاكتفاء بالسين.
- 18x² + 10x − 3 = 2x + 13
- 28x² + 8x − 16 = 0, so x² + x − 2 = 0
- 3(x + 2)(x − 1) = 0, x = −2 or x = 1
- 4y = 2(−2) + 13 = 9 and y = 2(1) + 13 = 15
Answer(−2, 9) and (1, 15)
الجزء (e) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
على المحاور نفسها، المطلوب رسم تخطيطي للمنحنى والخط مستعينًا بنتائج الأجزاء السابقة (النقطة الصغرى، وقطع المحور، ونقطتي التقاطع).
كيف تحلّه؟
المنحنى على شكل كوب لأن معامل مربع السين موجب. ضع عليه النقطة الصغرى ونقطتي قطع محور السينات. الخط ميله موجب، وحدّد نقطة قطعه لمحور الصادات من معادلته. تأكد أن الخط يقطع المنحنى عند النقطتين اللتين وجدتهما، واكتب الإحداثيات على الرسم.
- 1Curve: positive quadratic with minimum below the x-axis, one root either side of the y-axis
- 2Line: positive gradient, y-intercept 13
- 3They meet at (−2, 9) and (1, 15)
AnswerU-shaped parabola with minimum (−5/8, −49/8) below the x-axis, crossing the x-axis at −3/2 and 1/4; straight line with positive gradient through (0, 13), crossing the curve at (−2, 9) and (1, 15)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المعادلات الآنية مع منحنى بالعربي
تدرّب على أسئلة المعادلات الآنية مع منحنى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara