حل السؤال 6، 4PM1/02 يونيو 2021: المعادلات الآنية مع منحنى
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
كثيرة حدود تكعيبية فيها ثابتان صحيحان مجهولان. معطى أن السين ناقص ثلاثة عامل لها. المطلوب «بيّن أن» العلاقة الخطية المعطاة بين الثابتين صحيحة.
كيف تحلّه؟
حسب نظرية العامل، إذا كان السين ناقص ثلاثة عاملًا فالدالة عند ثلاثة تساوي صفرًا. عوّض بثلاثة، وفكّ القوس، واجمع الأعداد.
- 1f(3) = 0
- 227 + 9(p + 1) − 30 + q = 0
- 327 + 9p + 9 − 30 + q = 0 ⇒ 9p + q + 6 = 0
Answer9p + q + 6 = 0 shown
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معطى أيضًا أن السين زائد الثابت الأول عامل للدالة، حيث الثابت موجب. المطلوب «بيّن أن» العلاقة التربيعية المعطاة صحيحة.
كيف تحلّه؟
العامل السين زائد الثابت يعني أن الدالة عند سالب الثابت تساوي صفرًا. عوّض، وانتبه أن مكعب السالب سالب ومربعه موجب، فيختصر الحدّان التكعيبيان.
- 1f(−p) = 0
- 2(−p)³ + (p + 1)p² + 10p + q = 0
- 3−p³ + p³ + p² + 10p + q = 0 ⇒ p² + 10p + q = 0
Answerp² + 10p + q = 0 shown
الجزء (c) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» تعني استخدم العلاقتين اللتين أثبتّهما في الجزأين السابقين. المطلوب قيمتا الثابتين الصحيحين.
كيف تحلّه؟
من العلاقة الخطية اكتب الثابت الثاني بدلالة الأول، وعوّض في العلاقة التربيعية فتحصل على معادلة تربيعية بسيطة. حلّلها واختر القيمة الموجبة كما يشترط السؤال، ثم أوجد الثابت الآخر.
- 1q = −9p − 6
- 2p² + 10p − 9p − 6 = 0 ⇒ p² + p − 6 = 0
- 3(p + 3)(p − 2) = 0
- 4p > 0 so p = 2
- 5q = −18 − 6 = −24
Answerp = 2, q = −24
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
بعد إيجاد قيمتي الثابتين، المطلوب تحليل كثيرة الحدود التكعيبية تحليلًا كاملًا إلى ثلاثة عوامل خطية.
كيف تحلّه؟
عوّض بالقيم لتكتب الدالة صريحة. لديك عاملان معروفان، والعامل الثالث تجده بمقارنة الحد الثابت: حاصل ضرب الأعداد في العوامل الثلاثة يساوي الحد الثابت للدالة، أو بالقسمة.
- 1f(x) = x³ + 3x² − 10x − 24
- 2(x − 3) and (x + 2) are factors, so f(x) = (x + a)(x − 3)(x + 2)
- 3Constant term: −6a = −24 ⇒ a = 4
- 4f(x) = (x + 4)(x − 3)(x + 2)
Answerf(x) = (x + 4)(x − 3)(x + 2)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المعادلات الآنية مع منحنى بالعربي
تدرّب على أسئلة المعادلات الآنية مع منحنى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara