حل السؤال 7، 4PM1/01 يونيو 2020: التكاملات المحددة والمساحات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
دالة تربيعية معطاة، ويمكن كتابتها على صورة مربع قوس (السين زائد ثابت) زائد ثابت آخر. المطلوب قيمتا الثابتين.
كيف تحلّه؟
أكمل المربع: نصف معامل السين يوضع داخل القوس، ثم اطرح مربعه وأضف الحد الثابت الأصلي. الخطأ الشائع: نسيان طرح مربع النصف.
- 1x² − 9x + 14 = (x − 9/2)² − 81/4 + 14
- 2= (x − 9/2)² − 25/4
- 3a = −9/2, b = −25/4
Answera = −9/2, b = −25/4
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ أو بطريقة أخرى» المطلوب القيمة الصغرى للدالة وقيمة السين التي تحدث عندها.
كيف تحلّه؟
المربع لا يكون سالبًا أبدًا، فأصغر قيمة له صفر. إذن القيمة الصغرى هي الثابت الخارج القوس، وتحدث عندما يساوي ما داخل القوس صفرًا.
- 1(x − 9/2)² ≥ 0, so the minimum value is −25/4
- 2It occurs when x − 9/2 = 0, i.e. x = 9/2
Answerminimum f(x) = −25/4, at x = 9/2
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنحنى هو الدالة التربيعية، والخط مستقيم معطى. المطلوب «استخدم الجبر» لإيجاد إحداثيات نقطتي التقاطع.
كيف تحلّه؟
ساوِ معادلة الخط بالدالة، ورتّب لتحصل على معادلة تربيعية تساوي صفرًا وحلّلها. ثم عوّض بكل قيمة سين في معادلة الخط لإيجاد الصاد.
- 1x + 5 = x² − 9x + 14
- 2x² − 10x + 9 = 0
- 3(x − 9)(x − 1) = 0 ⇒ x = 1 or 9
- 4y = 6 or 14: (1, 6) and (9, 14)
Answer(1, 6) and (9, 14)
الجزء (d) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب المساحة الدقيقة للمنطقة المحصورة بين المنحنى والخط المستقيم، باستخدام التكامل الجبري، أي دون تقريب عشري.
كيف تحلّه؟
بين نقطتي التقاطع يكون الخط فوق المنحنى، فكامل الخط ناقص المنحنى بين السينين من الجزء السابق. بسّط الفرق أولًا، ثم كامل وعوّض بالحدين واطرح، واترك الناتج كسرًا دقيقًا. الفخ: طرح الخط من المنحنى فتخرج المساحة سالبة.
- 1Area = ∫ from 1 to 9 of [(x + 5) − (x² − 9x + 14)] dx
- 2= ∫ from 1 to 9 of (−x² + 10x − 9) dx
- 3= [−x³/3 + 5x² − 9x] from 1 to 9
- 4= (−243 + 405 − 81) − (−1/3 + 5 − 9)
- 5= 81 + 13/3 = 256/3
Answer256/3 (= 85⅓)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكاملات المحددة والمساحات بالعربي
تدرّب على أسئلة التكاملات المحددة والمساحات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara