حل السؤال 10، 4PM1/01 يونيو 2021: الهندسة المتجهية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل مثلث رأسه نقطة الأصل، ومتجهات معطاة بدلالة متجهين رمزيين، ونقطة على امتداد ضلع وأخرى على الضلع الآخر بكسور معطاة من طوله. المطلوب المتجه من نقطة الضلع الأول إلى نقطة الامتداد في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
أوجد أولًا متجه الضلع الثاني من الأصل بجمع متجهين معروفين. ثم متجه كل نقطة من الأصل بضرب الكسر المعطى في المتجه المناسب. المتجه المطلوب: من النقطة الأولى إلى الأصل ثم من الأصل إلى الثانية، واجمع وأخرج العامل المشترك.
- 1OB = OA + AB = 5p + 3q
- 2OC = (3/2)(5p + 3q), OD = 3p
- 3DC = DO + OC = −3p + (3/2)(5p + 3q)
- 4DC = (9/2)p + (9/2)q = (9/2)(p + q)
AnswerDC = (9/2)(p + q) (= (9/2)p + (9/2)q)
الجزء (b) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الخط من الجزء الأول يقطع الضلع الآخر في نقطة. المطلوب، بطريقة المتجهات، متجه هذه النقطة من الأصل في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
اكتب متجه نقطة التقاطع بطريقتين: مرة بالسير على الخط الأول بجزء مجهول منه، ومرة بالسير على الضلع بجزء مجهول آخر. قارن معاملي المتجهين الرمزيين فتحصل على معادلتين، وحلّهما لإيجاد الجزأين ثم عوّض. الفخ: استخدام الرمز نفسه للمجهولين.
- 1OF = OD + λDC = 3p + (9/2)λ(p + q)
- 2OF = OA + μAB = 5p + 3μq
- 3p: 3 + (9/2)λ = 5 ⇒ λ = 4/9
- 4q: (9/2)λ = 3μ ⇒ μ = 2/3
- 5OF = 5p + 2q
AnswerOF = 5p + 2q
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة على الضلع الثاني بحيث يكون الخط الواصل بينها وبين نقطة التقاطع موازيًا لأحد الأضلاع. المطلوب، بطريقة المتجهات، متجه هذه النقطة من الأصل.
كيف تحلّه؟
النقطة على الضلع، فمتجهها مضاعف لمتجه الضلع بعامل مجهول. والخط إليها من نقطة التقاطع موازٍ للضلع المعطى، فهو مضاعف لمتجهه. اكتب المتجه بالطريقتين وقارن المعامل الذي لا يتأثر بالموازاة أولًا.
- 1G on OB: OG = α(5p + 3q)
- 2FG parallel to AO: OG = OF + βAO = 5p + 2q − 5βp
- 3Compare q: 3α = 2 ⇒ α = 2/3
- 4OG = (2/3)(5p + 3q) = (10/3)p + 2q
AnswerOG = (10/3)p + 2q
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الهندسة المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة الهندسة المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara