حل السؤال 11، 4PM1/01 يونيو 2021: التكاملات المحددة والمساحات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب، باستخدام قانون من صفحة القوانين، «بيّن أن» جيب تمام ضعف الزاوية يساوي واحدًا ناقص ضعف مربع الجيب.
كيف تحلّه؟
اكتب ضعف الزاوية على صورة مجموع زاويتين متساويتين، وطبّق قانون جيب تمام المجموع. ثم استبدل مربع جيب التمام بواحد ناقص مربع الجيب.
- 1cos 2x = cos(x + x) = cos x cos x − sin x sin x
- 2= cos²x − sin²x
- 3= (1 − sin²x) − sin²x = 1 − 2sin²x
Answercos 2x = 1 − 2sin²x shown
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل، منحنيا الجيب زائد اثنين وجيب تمام ضعف الزاوية زائد اثنين يلتقيان في ثلاث نقاط. المطلوب إحداثيات النقاط الثلاث.
كيف تحلّه؟
ساوِ المعادلتين فتختصر الاثنان، واستخدم نتيجة الجزء الأول لكتابة المعادلة بدلالة الجيب فقط. رتّبها تربيعية في الجيب وحلّلها. أوجد الزوايا لكل قيمة بالراديان، ورتّبها من اليسار إلى اليمين كما في الشكل، ثم عوّض لإيجاد الصاد.
- 1sin x + 2 = cos 2x + 2 ⇒ sin x = 1 − 2sin²x
- 22sin²x + sin x − 1 = 0 ⇒ (2sin x − 1)(sin x + 1) = 0
- 3sin x = 1/2: x = π/6, 5π/6; sin x = −1: x = 3π/2
- 4y = sin x + 2 gives 5/2, 5/2 and 1
AnswerA(π/6, 5/2), B(5π/6, 5/2), C(3π/2, 1)
الجزء (c) · 8 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنطقتان المظللتان في الشكل محصورتان بين المنحنيين: الأولى بين النقطتين الأولى والثانية، والثانية بين الثانية والثالثة. المطلوب، بالتكامل، النسبة بين مساحتيهما في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
في كل منطقة كامل المنحنى الأعلى ناقص الأسفل بين حدّيها، والاثنان يختصران. حدد من الشكل أيهما أعلى في كل منطقة. استخدم قيم الجيب وجيب التمام الدقيقة عند الزوايا الخاصة، ثم اكتب النسبة واختصرها. الفخ: عكس الطرح فتخرج مساحة سالبة.
- 1R₁ = ∫ from π/6 to 5π/6 of (sin x − cos 2x) dx
- 2= [−cos x − (sin 2x)/2] from π/6 to 5π/6 = 3√3/2
- 3R₂ = ∫ from 5π/6 to 3π/2 of (cos 2x − sin x) dx
- 4= [(sin 2x)/2 + cos x] from 5π/6 to 3π/2 = 3√3/4
- 5R₁ : R₂ = 3√3/2 : 3√3/4 = 2 : 1
Answer2 : 1
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكاملات المحددة والمساحات بالعربي
تدرّب على أسئلة التكاملات المحددة والمساحات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara