حل السؤال 7، 4PM1/02 يونيو 2022: قوانين الجمع
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ia) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» ظل ضعف الزاوية يساوي ضعف ظلها مقسومًا على واحد ناقص مربع ظلها، باستخدام قانون من ورقة القوانين.
كيف تحلّه؟
ابدأ من قانون ظل مجموع زاويتين واجعل الزاويتين متساويتين. البسط يصبح ضعف الظل، والمقام واحد ناقص الظل في نفسه أي مربعه. اكتب الخطوة بوضوح لأن السؤال يطلب الإثبات.
- 1tan 2θ = tan(θ + θ) = (tan θ + tan θ)/(1 − tan θ tan θ)
- 2= 2tan θ/(1 − tan²θ)
Answertan 2θ = 2tan θ/(1 − tan²θ) shown
الجزء (ib) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
إذا كان ظل ضعف الزاوية ألفا يساوي واحدًا، المطلوب «بيّن أن» ظل ألفا يساوي عددًا صحيحًا زائد أو ناقص جذر عدد صحيح، وإيجاد هذين العددين.
كيف تحلّه؟
عوّض في نتيجة الجزء السابق واجعل الطرف الأيسر واحدًا. اضرب الطرفين في المقام فتحصل على معادلة تربيعية في الظل. رتّبها لتساوي صفرًا وحلّها بالقانون العام، ثم بسّط الجذر واقسم. الخطأ الشائع: عدم تبسيط الجذر فلا تظهر الصورة المطلوبة.
- 11 = 2tan α/(1 − tan²α)
- 21 − tan²α = 2tan α ⇒ tan²α + 2tan α − 1 = 0
- 3tan α = (−2 ± √8)/2 = −1 ± √2
Answertan α = −1 ± √2 (a = −1, b = 2)
الجزء (iia) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» المعادلة: جيب تمام (السين ناقص ثلاثين درجة) يساوي جيب (السين زائد ثلاثين درجة)، يمكن كتابتها: ظل السين يساوي واحدًا.
كيف تحلّه؟
افكّ الطرفين بقانوني جيب تمام الفرق وجيب المجموع، وعوّض بالقيم الدقيقة لجيب الثلاثين وجيب تمامها. اجمع حدود جيب السين في طرف وحدود جيب تمامها في الطرف الآخر، فيظهر في الطرفين عامل مشترك غير صفري فاقسم عليه، ثم اقسم على جيب التمام فيظهر الظل. الفخ: الخطأ في إشارة قانون جيب تمام الفرق.
- 1cos x cos 30° + sin x sin 30° = sin x cos 30° + cos x sin 30°
- 2cos x(cos 30° − sin 30°) = sin x(cos 30° − sin 30°)
- 3(√3/2 − 1/2)cos x = (√3/2 − 1/2)sin x
- 4sin x/cos x = 1 ⇒ tan x° = 1
Answertan x° = 1 shown
الجزء (iib) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» حلّ معادلة مشابهة لكن الزاوية فيها ضعف الصاد، والصاد أكبر من سالب تسعين وأصغر من أو تساوي تسعين درجة.
كيف تحلّه؟
هي المعادلة نفسها بعد استبدال السين بضعف الصاد، فيصبح ظل ضعف الصاد واحدًا. حوّل المجال: ضعف الصاد بين سالب مئة وثمانين ومئة وثمانين. أوجد كل الزوايا في هذا المجال التي ظلها واحد (الظل يتكرر كل مئة وثمانين درجة)، ثم اقسم على اثنين. الخطأ الشائع: إيجاد حل واحد ونسيان الحل السالب.
- 1Replace x by 2y: tan 2y = 1
- 2−180 < 2y ≤ 180: 2y = 45 or 2y = −135
- 3y = 22.5 or y = −67.5
Answery = −67.5, 22.5
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قوانين الجمع بالعربي
تدرّب على أسئلة قوانين الجمع
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara