حل السؤال 4، 4PM1/02R يونيو 2022: نظرية العامل ونظرية الباقي
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة تكعيبية فيها ثابتان صحيحان مجهولان. القوس «السين زائد واحد» عامل من عواملها، والباقي عند قسمتها على «السين زائد اثنين» معلوم. المطلوب قيمة كل من الثابتين.
كيف تحلّه؟
نظرية العوامل: إذا كان القوس عاملًا فقيمة الدالة عند السين التي تجعل القوس صفرًا تساوي صفرًا، أي نعوّض بسالب واحد. ونظرية الباقي: الباقي يساوي قيمة الدالة عند سالب اثنين. نحصل على معادلتين خطيتين في الثابتين فنحلهما معًا. الفخ: التعويض بالقيمة الموجبة بدل السالبة.
- 1f(−1) = 0: −1 + p − q + 7 = 0, so p − q + 6 = 0
- 2f(−2) = −5: −8 + 4p − 2q + 7 = −5, so 4p − 2q = −4
- 3From the first, p = q − 6: 4(q − 6) − 2q = −4
- 42q = 20, so q = 10 and p = 4
Answerp = 4, q = 10
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» تعني استخدم الثابتين من الجزء السابق. المطلوب أن «تبيّن أن» المعادلة «الدالة تساوي صفرًا» لها جذر حقيقي واحد فقط.
كيف تحلّه؟
اقسم الدالة على العامل المعروف (بالقسمة المطوّلة أو بمقارنة المعاملات) لتحصل على عامل تربيعي. احسب مميّز هذا العامل: مربع معامل السين ناقص أربعة أمثال حاصل ضرب المعاملين الآخرين. إذا كان سالبًا فلا جذور حقيقية للعامل التربيعي، ويبقى الجذر الوحيد من العامل الخطي. اكتب هذا الاستنتاج صراحة في جملة.
- 1f(x) = x³ + 4x² + 10x + 7
- 2Divide by (x + 1): f(x) = (x + 1)(x² + 3x + 7)
- 3Discriminant of x² + 3x + 7: 3² − 4 × 1 × 7 = −19
- 4−19 < 0, so the quadratic has no real roots
- 5So the only real root of f(x) = 0 is x = −1
Answerf(x) = (x + 1)(x² + 3x + 7) and x² + 3x + 7 has discriminant −19 < 0, so f(x) = 0 has only one real root (x = −1) — shown
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس نظرية العامل ونظرية الباقي بالعربي
تدرّب على أسئلة نظرية العامل ونظرية الباقي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara