حل السؤال 8، 4PM1/02R يونيو 2022: التكاملات المحددة والمساحات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: منحنيان أسّيان يتقاطعان عند نقطة الأصل وعند نقطة ثانية. المطلوب أولًا «بيّن أن» الإحداثي السيني للنقطة الثانية يحقق معادلة تربيعية في العدد النيبيري أس ثلاثة أمثال السين، ثم «ومن ثمّ» بيّن أنه يساوي ثلث اللوغاريتم الطبيعي لتسعة.
كيف تحلّه؟
ساوِ معادلتي المنحنيين. اضرب الطرفين في العدد النيبيري أس ثلاثة أمثال السين لتتخلص من الأس السالب، ثم انقل الحدود كلها إلى طرف واحد فتظهر المعادلة المطلوبة. للجزء الثاني عاملها كمعادلة تربيعية في مجهول جديد وحلّلها. أحد الحلين يعطي نقطة الأصل فارفضه، والآخر خذ له اللوغاريتم الطبيعي واقسم على ثلاثة.
- 1e^(3x) − 1 = 9 − 9e^(−3x)
- 2Multiply by e^(3x): (e^(3x))² − e^(3x) = 9e^(3x) − 9
- 3(e^(3x))² − 10e^(3x) + 9 = 0
- 4(e^(3x) − 1)(e^(3x) − 9) = 0
- 5e^(3x) = 1 gives O; at A, e^(3x) = 9
- 6x = (1/3) ln 9
Answer(e^(3x))² − 10e^(3x) + 9 = 0, giving e^(3x) = 9 and x = (1/3) ln 9 — shown
الجزء (b) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنطقة المظللة محصورة بين المنحنيين من نقطة الأصل إلى نقطة التقاطع الثانية. المطلوب مساحتها «بالقيمة الدقيقة» باستخدام التكامل.
كيف تحلّه؟
من الشكل حدّد المنحنى الأعلى في المنطقة. المساحة هي تكامل (الأعلى ناقص الأسفل) من صفر إلى الإحداثي السيني لنقطة التقاطع. بسّط ما داخل التكامل ثم كامل كل حد: تكامل العدد النيبيري أس ثابت في السين هو نفسه مقسومًا على ذلك الثابت. عوّض الحدّين، واستفد من أن العدد النيبيري أس ثلاثة أمثال السين يساوي تسعة عند الحد العلوي. الفخ: إهمال الحد السفلي لأن السين صفر، مع أن الحدود الأسية لا تساوي صفرًا عنده.
- 1Area = ∫ from 0 to (1/3) ln 9 of [(9 − 9e^(−3x)) − (e^(3x) − 1)] dx
- 2= ∫ (10 − 9e^(−3x) − e^(3x)) dx
- 3= [10x + 3e^(−3x) − e^(3x)/3] from 0 to (1/3) ln 9
- 4Upper: (10/3) ln 9 + 3/9 − 9/3 = (10/3) ln 9 + 1/3 − 3
- 5Lower: 0 + 3 − 1/3 = 8/3
- 6Area = (10/3) ln 9 − 8/3 − 8/3 = (10/3) ln 9 − 16/3
Answer(10/3) ln 9 − 16/3
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكاملات المحددة والمساحات بالعربي
تدرّب على أسئلة التكاملات المحددة والمساحات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara