حل السؤال 8، 4PM1/01 نوفمبر 2021: الهندسة المتجهية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: سداسي منتظم، ومتجهان معطيان على ضلعين متتاليين. المطلوب المتجه من نقطة الأصل إلى الرأس الثالث بدلالة المتجهين.
كيف تحلّه؟
امشِ على الأضلاع: من الأصل إلى الرأس الثاني ثم إلى الرأس الثالث، واجمع المتجهين. الفخ: عكس اتجاه أحد المتجهين.
- 1OB = OA + AB = a + b
AnswerOB = a + b
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في السداسي المنتظم نفسه، المطلوب المتجه على الضلع الثالث من السداسي بصورة مبسطة بدلالة المتجهين المعطيين.
كيف تحلّه؟
في السداسي المنتظم القطر من الأصل إلى الرأس المقابل للضلع الثاني يوازي هذا الضلع وطوله ضعفه. ارجع من الرأس الثالث إلى الأصل بعكس نتيجة الجزء الأول، ثم اذهب على هذا القطر، واجمع وبسّط. الفخ: إهمال أن القطر ضعف الضلع.
- 1OC = 2b (OC is parallel to AB and twice as long)
- 2BC = BO + OC = −(a + b) + 2b
- 3BC = b − a
AnswerBC = b − a
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة تقسم الضلع الثالث بنسبة اثنين إلى واحد. المطلوب المتجه من الأصل إليها بصورة مبسطة.
كيف تحلّه؟
اذهب من الأصل إلى بداية الضلع ثم أضف ثلثي متجه الضلع، لأن النقطة على بعد ثلثي الطريق. وزّع واجمع الحدود المتشابهة. الفخ: أخذ ثلث الضلع بدل الثلثين.
- 1OM = OB + (2/3)BC
- 2= a + b + (2/3)(b − a)
- 3= (1/3)a + (5/3)b
AnswerOM = (1/3)a + (5/3)b
الجزء (d) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة جديدة تقع على امتداد الخط من الأصل عبر النقطة السابقة، وعلى امتداد الضلع الأول أيضًا. المطلوب «بطريقة المتجهات» نسبة الضلع إلى الجزء الممتد.
كيف تحلّه؟
اكتب متجه النقطة الجديدة بطريقتين: مضاعف مجهول لمتجه الأصل إلى النقطة السابقة، ومن الأصل عبر الرأس الأول ثم مضاعف مجهول آخر للمتجه الثاني. ساوِ معاملات كل متجه في الطريقتين فتحصل على المجهولين. ثم احسب طول الامتداد واكتب النسبة. الفخ: استخدام المجهول نفسه في الطريقتين.
- 1OY = μOM = (μ/3)a + (5μ/3)b
- 2OY = OA + AY = a + λb
- 3Compare a: μ/3 = 1, so μ = 3
- 4Compare b: λ = 5μ/3 = 5, so AY = 5b
- 5BY = AY − AB = 4b, so AB : BY = 1 : 4
AnswerAB : BY = 1 : 4
الجزء (e) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مساحة السداسي معطاة. المطلوب مساحة المثلث المكوّن من الأصل والرأس الأول والنقطة الجديدة.
كيف تحلّه؟
السداسي المنتظم يتكون من ستة مثلثات متساوية، فمساحة المثلث على الضلعين الأولين سدس السداسي. المثلث المطلوب له الزاوية نفسها عند الرأس الأول، لكن ضلعه الممتد أطول بعدد من المرات وجدته في الجزء السابق، فمساحته تتضاعف بالعدد نفسه. الفخ: ضرب المساحة في مربع النسبة كأنهما متشابهان.
- 1Triangle OAB is 1/6 of the hexagon: area 10 cm²
- 2(1/2)ab sin 120° = 10 with |OA| = a, |AB| = b
- 3AY = 5AB, so area OAY = (1/2) × a × 5b × sin 120° = 5 × 10
- 4Area OAY = 50 cm²
Answer50 cm²
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الهندسة المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة الهندسة المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara