حل السؤال 10، 4PM1/01 نوفمبر 2023: حل المعادلات المثلثية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 17 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب باستخدام قوانين مجموع زاويتين المعطاة في ورقة القوانين أن «تبيّن أن» جيب ضعف الزاوية يساوي ضعف الجيب في جيب التمام، وأن جيب تمام ضعف الزاوية يساوي ضعف مربع جيب التمام ناقص واحد.
كيف تحلّه؟
في قانون جيب مجموع زاويتين وقانون جيب تمام مجموع زاويتين ضع الزاويتين متساويتين. في الأول يتكرر الحدان فيجتمعان. في الثاني تحصل على مربع جيب التمام ناقص مربع الجيب، فاستبدل مربع الجيب بواحد ناقص مربع جيب التمام وبسّط.
- 1(i) sin(A + A) = sin A cos A + cos A sin A
- 2sin 2A = 2sin A cos A
- 3(ii) cos(A + A) = cos A cos A − sin A sin A = cos²A − sin²A
- 4= cos²A − (1 − cos²A)
- 5= 2cos²A − 1
Answer(i) sin 2A = 2sin A cos A shown; (ii) cos 2A = 2cos²A − 1 shown
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة في الزاوية ثيتا: ضعف الظل مقسومًا على واحد زائد مربع الظل. المطلوب «بيّن أن» هذه الدالة تساوي جيب ضعف الزاوية.
كيف تحلّه؟
اكتب الظل جيبًا على جيب تمام. اضرب البسط والمقام في مربع جيب التمام لإزالة الكسور الداخلية. المقام يصير مجموع مربعي الجيب وجيب التمام وهو واحد، فيبقى ضعف الجيب في جيب التمام، ثم استخدم نتيجة الجزء الأول.
- 1f(θ) = (2sin θ/cos θ)/(1 + sin²θ/cos²θ)
- 2Multiply top and bottom by cos²θ: 2sin θ cos θ/(cos²θ + sin²θ)
- 3= 2sin θ cos θ
- 4= sin 2θ
Answerf(θ) = sin 2θ shown
الجزء (c) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة مثلثية زاويتها السين زائد سدس باي، فيها الظل ومربعه ومربع جيب التمام. المطلوب حلها بالراديان لثلاثة أرقام معنوية، في المدى من سالب نصف باي إلى نصف باي.
كيف تحلّه؟
اقسم الطرفين على واحد زائد مربع الظل، فالطرف الأيسر يصير بالجزء السابق مضاعفًا لجيب ضعف الزاوية. والطرف الأيمن بالجزء الأول هو سالب جيب تمام ضعف الزاوية. اقسم على جيب التمام فتحصل على ظل ضعف الزاوية يساوي عددًا. اضرب المدى في اثنين وأضف ثلث باي لتجد مدى الزاوية الجديدة، وأوجد كل حلولها فيه، ثم ارجع إلى السين. الفخ: نسيان تعديل المدى فتضيع أحد الحلين.
- 1Divide by 1 + tan²(x + π/6): 5tan(x + π/6)/(1 + tan²(x + π/6)) = 1 − 2cos²(x + π/6)
- 2Left side = (5/2)sin(2x + π/3) by part (b); right side = −cos(2x + π/3)
- 3(5/2)sin(2x + π/3) = −cos(2x + π/3), so tan(2x + π/3) = −2/5
- 42x + π/3 = −0.38050… or 2.76108…
- 5x = −0.714 or x = 0.857
Answerx = −0.714, x = 0.857
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «باستخدام التفاضل والتكامل» القيمة الدقيقة لتكامل مقدار مثلثي من الصفر إلى نصف باي، والمقدار فيه الكسر نفسه بالظل، وجيب تمام خمسة أمثال الزاوية، وعدد ثابت.
كيف تحلّه؟
الكسر بالظل هو ضعف الدالة من الجزء الثاني، فاستبدله بمضاعف جيب ضعف الزاوية. كامل كل حد: تكامل جيب ضعف الزاوية سالب جيب التمام على اثنين، وتكامل جيب تمام خمسة أمثال الزاوية جيبها على خمسة. ثم عوّض بالحدين واترك الإجابة دقيقة بدلالة باي. الفخ: نسيان القسمة على معامل الزاوية، أو خطأ في إشارة الحد الأدنى.
- 14tan θ/(1 + tan²θ) = 2sin 2θ
- 2I = ∫ from 0 to π/2 of (2sin 2θ − cos 5θ + 2) dθ
- 3= [−cos 2θ − (sin 5θ)/5 + 2θ] from 0 to π/2
- 4= (1 − 1/5 + π) − (−1)
- 5= 9/5 + π
Answer9/5 + π
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات المثلثية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات المثلثية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara